Aula prática Controle de Vibrações
ROTEIRO DE AULA PRÁTICA
NOME DA DISCIPLINA: Controle de Vibrações
Unidade: U1_Fundamentos de vibrações.
Aula: A3_Movimento e análise harmônica
OBJETIVOS
Definição dos objetivos da aula prática:
Os objetivos dessa aula prática são:
• Compreender a análise harmônica;
• Analisar de forma prática o comportamento do movimento harmônico;
• Desenvolver de maneira prática os conceitos de séries de Fourier.
SOLUÇÃO DIGITAL:
GNU Octave
O GNU Octave é um software matemático é aplicado para realizar cálculos complexos
que seriam demasiados trabalhosos ou impossíveis de serem resolvidos manualmente.
Devido à aula ser relacionada a análise harmônica e sendo os cálculos de movimento, é
de extrema importância a que os alunos tenham contato com a real complexidade
encontrada em vibrações, justificando a necessidade da utilização e do desenvolvimento
computacional para a resolução de tais problemas.
PROCEDIMENTOS PRÁTICOS E APLICAÇÕES
Procedimento/Atividade no 1
Atividade proposta:
Realizar a representação gráfica de séries de Fourier utilizando software matemático.
Representar graficamente o fenômeno de batimento.
Procedimentos para a realização da atividade:
A parte da atividade desta aula prática consiste em representar graficamente a série de
Fourier até o quarto termo sendo:
Público3
Tendo que:
A rotina para plotar todos os gráficos na mesma figura é:
%======================================================================
R=2;
w=6;
tau=2*pi/w;
for i=1:101
t(i) = tau * (i – 1) / 100;
x(i) = R * t(i) / tau;
end
subplot(231);
plot(t,x);
ylabel(‘x(t)’);
xlabel(‘t’);
title(‘x(t) = R * t / tau’);
for i=1:101
x1(i) = R / 2;
end
subplot(232);
plot(t,x1);
ylabel(‘x(t)’);
xlabel(‘t’);
title(‘um termo’);
for i=1:101
x2(i) = R / 2 – R*sin(w*t(i)) / pi;
end
subplot(233);
plot(t,x2);
ylabel(‘x(t)’);
xlabel(‘t’);
Público4
title(‘dois termos’);
for i=1:101
x3(i) = R / 2 – R * sin(w*t(i)) / pi – R * sin(2*w*t(i)) / (2*pi);
end
subplot(234);
plot(t,x3);
ylabel(‘x(t)’);
xlabel(‘t’);
title(‘tres termos’);
for i=1:101
x4(i) = R / 2 – R * sin(w*t(i)) / pi – R * sin(2*w*t(i)) / (2*pi) – R * sin(3*w*t(i)) / (3*pi);
end
subplot(235);
plot(t,x4);
ylabel(‘x(t)’);
xlabel(‘t’);
title(‘quatro termos’);
%======================================================================
Finalizar a primeira atividade.
A segunda parte desta aula prática consiste em, a partir da equação de batimento apresentada no livro
didático, elaborar uma rotina no software para que o mesmo execute um gráfico de batimento.
Para a equação de batimento usaremos:
Sendo apresentados em rotina da seguinte forma:
X=1
w=20
d=1
for i=1:1001
t(i)=15*(i-1)/1000
x(i)=2*X*cos(d*t(i)/2)*cos((w+d/2)*t(i));
Público5
end
plot(t,x);
xlabel (‘t’);
ylabel(‘x(t)’);
title(‘Batimento’);
Finalizar a segunda atividade.
Avaliando os resultados:
Você deverá entregar em um arquivo os seguintes itens:
• Passo a passo e Imagens comprobatórias da execução da prática.
• Gráficos gerados por ambas as rotinas
• Um texto dissertativo discutindo os resultados obtidos.
Checklist:
✓ Criar o vetor de tempo t e parâmetros R, w, tau.
✓ Escrever e executar a rotina para o gráfico com 1, 2, 3 e 4 termos.
✓ Observar e comparar os gráficos gerados.
✓ Discutir as diferenças entre os resultados conforme o número de termos da série.
✓ Relembrar o conceito de batimento e sua origem física.
✓ Definir parâmetros iniciais: X=1, w=20, d=1.
✓ Implementar a rotina no GNU Octave conforme o roteiro.
✓ Gerar o gráfico de batimento e observar a modulação da amplitude.
✓ Alterar a amplitude para 2 mm e observar a diferença no gráfico.
✓ Registrar os resultados e comparar com o gráfico teórico.
RESULTADOS
Resultados do experimento:
Ao final dessa aula prática, você deverá enviar um arquivo em word contendo as informações
solicitadas, os gráficos plotados, as perguntas respondidas e em conjunto com um texto
conclusivo a respeito das informações obtidas. O arquivo não pode exceder o tamanho de 2Mb.
• Referências bibliográficas ABNT (quando houver).
Resultados de Aprendizagem:
Como resultado de aprendizagem, os alunos devem compreender os fundamentos de
análise harmônica e transformadas de Fourier.
Os alunos devem realizar anotações do experimento todas as etapas com objetivo de
documentação. As anotações devem ficar com os alunos para fins de estudos.
Público6
ROTEIRO DE AULA PRÁTICA
NOME DA DISCIPLINA: Controle de Vibrações
Unidade: U2_Vibrações Livres
Aula: A3_Vibração livre com amortecimento viscoso e com amortecimento Coulomb
OBJETIVOS
Definição dos objetivos da aula prática:
Os objetivos dessa aula prática são:
• Aplicar os conceitos de amortecimento.
• Visualizar o comportamento de um sistema devido ao amortecimento.
• Desenvolver as habilidades de correlação dos alunos, entre os conceitos teóricos e a prática da
engenharia.
SOLUÇÃO DIGITAL:
GNU Octave
O GNU Octave é um software matemático é aplicado para realizar cálculos complexos
que seriam demasiados trabalhosos ou impossíveis de serem resolvidos manualmente.
Devido à aula ser relacionada a análise harmônica e sendo os cálculos de movimento, é
de extrema importância a que os alunos tenham contato com a real complexidade
encontrada em vibrações, justificando a necessidade da utilização e do desenvolvimento
computacional para a resolução de tais problemas.
PROCEDIMENTOS PRÁTICOS E APLICAÇÕES
Procedimento/Atividade no 1
Atividade proposta:
Determinação da resposta de um sistema massa-mola sujeito a uma vibração livre com amortecimento
viscoso.
Procedimentos para a realização da atividade:
Desenvolver um programa para determinar a resposta de um sistema massa-mola com amortecimento
viscoso, que apresenta os seguintes dados:
Público7
Para resolver estre problema teremos que gerar uma sub-rotina dada por:
%==============================================================
%
%Subroutine frevib.m
%
%==============================================================
function [x,xd,xdd,t,ii]=frevib(m,k,c,x0,xd0,n,delt);
omn=sqrt(k/m);
%undamped system
if (abs(c)>1.0e-6)
ccrit=2.0*sqrt(k*m);
xai=c/ccrit;
if xai<1.0
%Underdamped system
ii=2;
omd=sqrt(1.0-(xai^2))*omn;
cp1=x0;
cp2=(xd0+xai*omn*x0)/omd;
a=sqrt(cp1^2+cp2^2);
phi=atan(cp1/cp2);
for i=1:n
if i>1
t(i)=t(i-1)+delt;
else
t(i)=delt;
end
tt=t(i);
x(i)=a*exp(-xai*omn*tt)*sin(omd*tt+phi);
xd(i)=a*exp(-xai*omn*tt)*(omd*cos(omd*tt+phi)-xai*omn*…
sin(omd*tt+phi));
xdd(i)=-(c*xd(i)+k*x(i))/m;
end
elseif xai==1.0
%critically damped system
ii=3;
for i=1:n
Público8
if i>1
t(i)=t(i-1)+delt;
else
t(i)=delt;
end
tt=t(i);
x(i)=(x0+(xd0+omn*x0)*tt)*exp(-omn*tt);
xd(i)=-(x0+(xd0+omn*x0)*tt)*omn*exp(-omn*tt)+(xd0+omn*x0)*…
exp(-omn*tt);
xdd(i)=-(c*xd(i)+k*x(i))/m;
end
elseif xai>0
%overdamped system
ii=4;
x1=sqrt(xai^2-1.0);
c1=(x0*omn*(xai+x1)+xd0)/(2.0*omn*x1);
c2=(-x0*omn*(xai-x1)-xd0)/(2.0*omn*x1);
for i=1:n
if i>1
t(i)=t(i-1)+delt;
else
t(i)=delt;
end
tt=t(i);
x(i)=c1*exp((-xai+x1)*omn*tt)+c2*exp((-xai-x1)*omn*tt);
xd(i)=c1*(-xai+x1)*omn*exp((-xai+x1)*omn*tt)
+c2*(-xai-x1)*omn*exp((-xai-x1)*omn*tt);
xdd(i)=-(c*xd(i)+k*x(i))/m;
end
end
else
ii=1;
omn=sqrt(k/m);
a=sqrt(x0^2+(xd0/omn)^2);
phi=atan(xd0/(x0*omn));
for i=1:n
Público9
if i>1
t(i)=t(i-1)+delt;
else
t(i)=delt;
end
tt=t(i);
x(i)=a*cos(omn*tt-phi);
xd(i)=a*omn*cos(omn*tt-phi+1.5708);
xdd(i)=-(c*xd(i)+k*x(i))/m;
end
end
Em seguida, devemos criar o programa para solução do problema, tendo em vista que m é massa do
sistema, k é a rigidez, c a constante de amortecimento viscoso, x0 é o deslocamento inicial, xd0 é a
velocidade inicial, n é o número de etapas de tempo nos quais os valores de x(t) dever ser determinados,
delt é o intervalo de tempo entre etapas de tempo consecutivas. Assim, escrevemos o programa como se
segue:
%================================================================
%
%Program2.m
%Program for calling the subroutine FREVIB
%
%================================================================
%Run “Program2” in MATLAB Command Window. Program2.m and frevib.m
%should be in the same file folder, and set the path to this folder
%following 7 lines contain problem-dependent data
m=450.0;
k=26519.2;
c=1000.0;
x0=0.539657;
xd0=1.0;
n=100;
delt=0.025;
%end of problem-dependent data
[x,xd,xdd,t,ii]=frevib(m,k,c,x0,xd0,n,delt);
Público10
fprintf(‘Free vibration analysis \n’);
fprintf(‘of a single degree of freedom analysis \n\n’);
fprintf(‘Data:\n\n’);
fprintf(‘m= %8.8e \n’,m);
fprintf(‘k= %8.8e \n’,k);
fprintf(‘c= %8.8e \n’,c);
fprintf(‘x0= %8.8e \n’,x0);
fprintf(‘xd0= %8.8e \n’,xd0);
fprintf(‘n= %2.0f \n’,n);
fprintf(‘delt= %8.8e \n\n\n’,delt);
if ii==1
fprintf(‘system is undamped \n\n’);
elseif ii==2
fprintf(‘system is under damped \n\n’);
elseif ii==3
fprintf(‘system is critically damped \n\n’);
else
fprintf(‘system is over damped \n\n’);
end
fprintf(‘Results:\n\n’);
fprintf(‘ i time(i) x(i) xd(i) xdd(i)’);
fprintf(‘\n\n’);
for i=1:100
fprintf(‘%2.0f %8.6e %8.6e %8.6e %8.6e \n’,i,t(i),x(i),…
xd(i), xdd(i));
end
plot(t,x);
hold on;
gtext(‘x(t)’);
plot(t,xd);
gtext(‘xd(t)’);
plot(t,xdd);
gtext(‘xdd(t)’);
xlabel(‘t’);
ylabel(‘x(t), xd(t), xdd(t)’);
title(‘Program2’);
Público11
Com o gráfico gerado, é possível observar como o amortecimento influencia o sistema de forma a eliminar
a vibração livre.
Avaliando os resultados:
Você deverá entregar em um arquivo os seguintes itens:
• Passo a passo e Imagens comprobatórias da execução da prática.
• Gráficos gerados por ambas as rotinas
• Um texto dissertativo discutindo os resultados obtidos.
Checklist:
✓ Primeiramente, o aluno deve abrir o software.
✓ Em seguida, na primeira atividade, devem iniciar compreendendo a equação e as
componentes dela.
✓ O aluno deve escrever as rotinas uma por uma para que vejam o comportamento
de cada uma delas.
RESULTADOS
Resultados do experimento:
Ao final dessa aula prática, você deverá enviar um arquivo em word contendo as informações
solicitadas, os gráficos plotados, as perguntas respondidas e em conjunto com um texto
conclusivo a respeito das informações obtidas. O arquivo não pode exceder o tamanho de 2Mb.
• Referências bibliográficas ABNT (quando houver).
Resultados de Aprendizagem:
Como resultado de aprendizagem, os alunos devem ser capazes de demonstrar as
diferenças entre os sistemas livres não amortecidos e os amortecidos, de tal forma a
pontuar as vantagens de se amortecer um sistema vibratório.
Os alunos devem realizar anotações do experimento todas as etapas com objetivo de
documentação. As anotações devem ficar com os alunos para fins de estudos.
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